§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.
9.4. Анализ линейной корреляции по опытным данным.
Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола (
) сосны и ее высотой (
) было исследовано 26 сосен.
Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см.
Разбивая диапазон изменения высоты сосны на интервалы длиной 1 м, а диапазон изменения диаметра ствола на интервалы длиной 4 см, получим таблицу, приведенную в разделе 9.1.
Эта таблица называется корреляционной. В каждой ее клетке стоит число сосен, диаметр ствола и высота которых находится в указанных границах (числа mij). При подсчете статистических характеристик примем высоту всех сосен, попавших
в данный интервал, равной середине сi этого интервала, а диаметр ствола - равным середине dj cоответствующего интервала.
Подсчет выборочных средних, дисперсий и коэффициента корреляции производим по формулам (84) и (85).
Для подсчета 
, 
, 
и 
составляем две вспомогательные таблицы,
принимая x0=25 и y0=34, т.е. ui=ci-25 и vj=dj-34.
| Номер интер-вала | Середина интервала ci высоты |  |
 |
 |
 |
 |
| 1 | 23 | -2 | 2 | 4 | -4 | 8 |
| 2 | 24 | -1 | 4 | 1 | -4 | 4 |
| 3 | 25 | 0 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 4 | 26 | 1 | 6 | 1 | 6 | 6 |
| 5 | 27 | 2 | 5 | 4 | 10 | 20 |
| 6 | 28 | 3 | 3 | 9 | 9 | 27 |
 |
26 | 17 | 65 |
| Номер интер-вала | Середина интервала dj диаметра |  |
 |
 |
 |
 |
| 1 | 22 | -12 | 2 | 144 | -24 | 288 |
| 2 | 26 | -8 | 5 | 64 | -40 | 320 |
| 3 | 30 | -4 | 5 | 16 | -20 | 80 |
| 4 | 34 | 0 | 3 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 38 | 4 | 4 | 16 | 16 | 64 |
| 6 | 42 | 8 | 5 | 64 | 40 | 320 |
| 7 | 46 | 12 | 2 | 144 | 24 | 288 |
|
26 | -4 | 1360 |
Из первой таблицы для высоты сосны получаем
Из второй таблицы для диаметра ствола сосны находим
Для подсчета 
составляем новую таблицу. В каждой ее клетке (справа) указано число mij сосен,
имеющих одни и те же значения ui а vj, а слева указано произведение mijuivj. Последний
столбец состоит из суммы всех mijuivj при постоянном j. Как видно из таблицы 
| ui | |||||||
| vj | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
| -12 | 48 \ 2 | 48 | |||||
| -8 | 16 \ 2 | 0 \ 1 | -16 \ 2 | 0 | |||
| -4 | 8 \ 2 | 0 \ 2 | -8 \ 1 | 0 | |||
| 0 | 0 \ 2 | 0 \ 1 | 0 | ||||
| 4 | 0 \ 1 | 4 \ 1 | 16 \ 2 | 20 | |||
| 8 | 16 \ 2 | 72 \ 3 | 88 | ||||
| 12 | 48 \ 2 | 48 | |||||
| 204 | |||||||
Используя формулу (85), найдем выборочный коэффициент корреляции:
По формулам (81) находим приближенные значения коэффициентов регрессии:
По формулам (82) и (83) найдем эмпирические уравнения прямых регрессий.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид
y-33,85=3,81(x-25,65), или y=3,81x-63,88
Это уравнение дает зависимость среднего значения диаметра ствола от его длины.
Уравнение прямой регрессии на имеет вид
x-25,65=0,15(y-33,85), или x=0,15y+21,57
Последнее уравнение дает зависимость среднего значения длины ствола от его диаметра.