§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.

9.4. Анализ линейной корреляции по опытным данным.

Одной из задач математической статистики является исследование корреляционной зависимости между случайными величинами. Пусть проведено n опытов, в результате которых получены следующие значения системы величин :

(x₁, y₁), (x₂, y₂), ..., (x_i, y_i), ..., (x_n, y_n).

За приближенные значения , , и принимают их выборочные значения , , и [см. формулы (66) и (67)]:

(78)

(79)

Выборочными коэффициентами корреляции называют число , определяемое соотношением:

(80)

Можно показать, что сходится по вероятности к коэффициенту корреляции .

Заменяя в соотношениях (76) величины , и их выборочными значениями , и [см. формулы (79) и (80)], получим приближенные значения коэффициентов регрессии:

(81)

Подставляя в уравнения (74) и (75) приближенные значения коэффициентов регрессии и используя соотношения (78) и (81), получим уравнения эмпирических прямых регрессий:

(82)

(83)

При большом числе опытов для упрощения подсчета значений , , , и коэффициента корреляции поступим следующим образом (см. § 9, п. 2, замечание).

Диапазоны изменения наблюдаемых значений случайных величин и разобьем соответственно на интервалы

]X₀, X₁[, ]X₁, X₂[, ..., ]X_i-1, X_i[, ..., ]X_k-1, X_k[

]Y₀, Y₁[, ]Y₁, Y₂[, ..., ]Y_j-1, Y_j[, ..., ]Y_s-1, Y_s[

Каждое из наблюдаемых значений , попавших в i-й (j-й) интервал, считаем приближенно равным середине этого интервала c_i (d_j). Пусть () - число значений , попавших в в i-й (j-й) интервал, а x₀ и y₀ - произвольные числа, близкие к серединам диапазонов изменения значений и . Полагая u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀ и используя формулы (70) и (71), получим:

(84)

Для подсчета выборочного коэффициента корреляции по формуле (80) сначала запишем выражение в новых переменных u_i=c_i-x₀ и v_j=d_j-y₀. Обозначим через m_ij число наблюдаемых значений пар , у которых значения попали в i-й интервал ] X_i-1,X_i [, а значения - в j-й интервал ] Y_j-1,Y_j [. Каждое из этих значений и заменим соответствующими серединами c_i и d_j интервалов ] X_i-1,X_i [ и ] Y_j-1,Y_j [. Тогда

где сумма в правой части равенства распространена на все возможные пары чисел (i,j), причем i пробегает значения от 1 до k, а j - от 1 до s. После преобразований в результате получим

Итак, окончательная расчетная формула для выборочного коэффициента корреляции имеет вид

(85)

Пример. Для выяснения зависимости между диаметром ствола () сосны и ее высотой () было исследовано 26 сосен. Наблюдаемые значения высоты сосен колеблются в границах от 22,5 до 28,5 м, диаметр ствола - от 20 до 48 см. (>>)