/ Теория / Теория Вероятности / 9.1. Введение в элементы теории корреляции
§ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КОРРЕЛЯЦИЙ.
9.1. Введение.
В математическом анализе мы имеем дело с функциональной зависимостью между двумя переменными величинами, при которой каждому значени. одной их них соответствует единственное значение другой.
Однако часто приходится иметь дело с более сложной зависимостью, чем функциональная. Такая зависимость возникает тогда, когда одна из величин зависит не только от другой, но и от ряда прочих меняющихся факторов, среди которых могут быть и общие для обеих величин.
Так, например, с увеличением высоты сосны увеличивается диаметр ее ствола. Однако если исследовать эту зависимость по опытным данным, то может оказаться что для отдельных сосен с большей высотой диаметр ствола окажется меньше, чем для сосен с меньшей высотой. Это объясняется тем, что диаметр ствола сосны зависит не только от ее высоты, но и от других факторов (например, от свойств почвы, количества влаги и т.д.).
Это обстоятельство наглядно видно из таблицы, в которой приведены значения диаметров ствола сосны в зависимости от ее высоты. В каждой клетке этой таблицы помещено число сосен, имеющих соответствующие диаметр ствола и высоту*. Так, например, количество сосен с высотой 24 м и с диаметром ствола 26 см равно двум.
| Высота (в м) | |||||||
| Диа-метр (в cм) |
22,5-23,5 23 |
23,5-24,5 24 |
24,5-25,5 25 |
25,5-26,5 26 |
26,5-27,5 27 |
27,5-28,5 28 |
 |
| 20-24 22 |
2 | 2 | |||||
| 24-28 26 |
2 | 1 | 2 | 5 | |||
| 28-32 30 |
2 | 2 | 1 | 5 | |||
| 32-36 34 |
2 | 1 | 3 | ||||
| 36-40 38 |
1 | 1 | 2 | 4 | |||
| 40-44 42 |
2 | 3 | 5 | ||||
| 44-48 46 |
2 | 2 | |||||
 |
2 | 4 | 6 | 6 | 5 | 3 | 26 |
Ниже приведены средние значения диаметра ствола сосны в зависимости от высоты.
| Высота | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
| Средний диаметр | 22 | 28 | 32 | 34,7 | 39,6 | 42 |
Мы видим, что с увеличением высоты сосны в среднем растет диаметр ее ствола. Однако сосны заданной высоты имеют распределение диаметров с довольно большим рассеянием. Если в среднем, например, 26-метровые сосны толще, чем 25-метровые, то для отдельных сосен это соотношение нарушается.
В рассмотренном примере мы имеем две случайные величины: 
- высота сосны и 
- диаметр ее ствола.
Каждому значению x величины соответствует множество значений , которые она может принимать с различными вероятностями.
Говорят, что между и существует корреляционная зависимость.
Этот пример приводит нас к следующему определению.
Две случайные величины и находятся в корреляционной зависимости, если каждому
значению одной из этих величин соответствует определенное распределение вероятностей другой.
Для характеристики корреляционной зависимости между случайными величинами вводится понятие коэффициента корреляции.
* При подсчетах мы принимаем диаметры стволов и высоты всех сосен, попавших в данный интервал, равными серединам соответствующих интервалов.