§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К СТАТИСТИКЕ.

8.2. Определение неизвестных параметров распределения.

Пример. Построенная гистограмма для статистического распределения значений диаметра вала хвостовика (см. рис. 17) позволяет сделать предположение о том, что мы имеем дело с нормальным законом распределения. Требуется, исходя из опытных данных, представленных в таблице из примера п.8.1., определить параметры a и этого распределения.

Решение. Полагая* x₀=75, вычислим v₁ и v₂. Вычисления расположим, как указано в следующей таблице.

№ ин-тер-ва-лов	Cере-дина ин-тер-вала ci	mi	ui =сi-75	miui
1	67	4	-8	-32	64	256
2	69	12	-6	-72	36	432
3	71	24	-4	-96	16	384
4	73	41	-2	-82	4	164
5	75	50	0	0	0	0
6	77	53	2	106	4	212
7	79	39	4	156	16	624
8	81	26	6	156	36	936
9	83	13	8	104	64	832
10	85	5	10	50	100	500
11	87	2	12	24	144	288
12	89	1	14	14	196	196
		270		328		4824

По формулам (70) находим

Используя теперь формулы (71), имеем

Выберем параметры a и так, чтобы выполнялись условия (68): , . Следовательно, . Таким образом, плотность распределения вероятностей

В следующей таблице приведены вычисления значений функции в средних точках интервала статистического ряда.

Значения функции взяты из Табл. I Приложения.

x	x-76,21
67	-9,21	-2,27	0,0303	0,006	0,008
69	-7,21	-1,78	0,0818	0,020	0,022
71	-5,21	-1,29	0,1736	0,043	0,045
73	-3,21	-0,79	0,2920	0,072	0,076
75	-1,21	-0,30	0,3697	0,091	0,092
77	0,79	0,20	0,3825	0,095	0,098
79	2,79	0,69	0,3144	0,075	0,072
81	4,79	1,18	0,1989	0,049	0,048
83	6,79	1,62	0,0973	0,024	0,024
85	8,79	2,17	0,0379	0,009	0,009
87	10,79	2,66	0,0116	0,003	0,004
89	12,79	3,16	0,0020	0,001	0,002

В последнем столбце таблицы приведены значения функции , взятые из столбца (5) таблицы из примера из п.8.1. Сравнение показывает, что функция близка к

---

* Для простоты вычислений, как это обычно делается, за x₀ мы выбрали число, близкое к середине диапазона изменения наблюдаемых значений.