§ 7. ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТИ К ОБРАБОТКЕ РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ.
Пусть для определения неизвестной физической постоянной а производится n независимых измерений, причем считается, что грубые и систематические ошибки отсутствуют (см. § 6, п. 2). Возможный результат каждого из n измерений есть случайная величина, которую мы обозначим через (i — номер измерения). Так как каждое измерение не зависит от результатов других измерений, то мы имеем n случайных независимых величин . Обозначим через x1, x2, ..., xn фактически полученные результаты n измерений величины а. Таким образом, xi есть одно из возможных значений .
На основании закона больших чисел Чебышева (см, § 5, п. 2) мы можем утверждать, что с практической достоверностью для достаточно большого числа n измерений средняя арифметическая результатов измерений отличается от истинного значения физической постоянной сколь угодно мало, т. е. с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, имеет место приближенное равенство
Оценим точность этого приближенного равенства. Для этого прежде всего заметим, что в силу основного закона ошибок (см. § 6, п. 2) каждый возможный результат измерения есть случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с одним и тем же математическим ожиданием, равным истинному значению а измеряемой величины: (i=1, 2, ..., n). Далее будем предполагать, что все измерения проводятся с одинаковой степенью точности (равноточные измерения). Поэтому дисперсии всех случайных величин должны быть одинаковыми, т. е. .
Сначала рассмотрим случай оценки неизвестного значения а, предполагая известным значение . Так как возможный результат i-гo измерения есть случайная величина , подчиняющаяся нормальному закону распределения вероятностей с математическим ожиданием и дисперсией , то случайная величина также имеет нормальное распределение с тем же математическим ожиданием , и средним квадратическим отклонением (см. § 4, п. 3). Поэтому плотность распределения вероятностей для средней арифметической имеет вид
где параметры распределения равны а и
Следовательно, вероятность того, что при n измерениях мы получим такую совокупность значений , что при любом интервал будет содержать а, на основании формулы (33) определяется соотношением
(58) |
(59) |
Пусть случайная величина s2 определена соотношением
(60) |
(доказательство не приводим ввиду громоздкости вычислений). Применим к случайной величине s2 вторую лемму Чебышева (см. § 5, п. 1):
где . Подставляя значения M(s2) и D(s2), получим
(61) |
Соотношение (61) показывает, что если , то , т.е. s2 стремится по вероятности к .
Рассмотрим величину
Так как есть одно из возможных значений s2, то при достаточно больших n с практической достоверностью можно утверждать, что имеет место приближенное равенство
(62) |
На практике для оценки вероятности того, что истинное значение а измеряемой величины лежит в интервале , пользуются формулой (59), где вместо подставляют ее приближенное значение , найденное по формуле (62).
Итак, для достаточно больших значений n имеем
(63) |
(64) |
Интервал называется доверительным интервалом, а вероятность — надежностью *.
Пример. Для определения процентного содержания хрома в стали были проделаны 34 измерения, результаты которых сведены в таблицу. Найти доверительный интервал с надежностью =0,9973 (Решение)