§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

5.3. Закон больших чисел Бернулли.

Закон больших чисел в форме Бернулли состоит в следующем: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом числе опытов частота появления события А как угодно мало отличается от его вероятности, т. е.

(55)

иными словами, при неограниченном увеличении числа n опытов частота m/n события А сходится по вероятности к Р(А).

Доказательство:

Рассмотрим случайную величину . Так как M(m)=np и D(m)=npq (см. § 4, п. 2, пример 3), то

Применим к случайной величине вторую лемму Чебышева:

Переходя к пределу при , очевидно, имеем