§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

5.2. Закон больших чисел Чебышева.

Имеет место следующее утверждение. Пусть - последовательность попарно независимых случайных величин, имеющих ограниченные в совокупности дисперсии, т. е. для любого i. Тогда, каково бы нибыло , справедливо соотношение

(54)

Доказательство:

Обозначим через величину , т.е. среднюю арифметическую n случайных величин. Случайная величина имеет математическое ожидание

и дисперсию

(здесь мы воспользовались свойствами математического ожидания и дисперсии). Применяя к случайной величине вторую лемму Чебышева, найдем, что

т.е.

так как при любом i, и следовательно,

Учитывая, что вероятность любого события не превосходит единицы, получим

Переходя к пределу при , имеем