§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

5.1. Леммы Чебышева.

Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности

(52)

Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.

Доказательство:

Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству

то

Случайная величина

неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,

так как

Поэтому

(53)

Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то

Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим