§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.
5.1. Леммы Чебышева.
Лемма 2. Пусть — случайная величина, а - положительное число. Тогда вероятность того, что модуль отклонения случайной величины. от ее математического ожидания окажется меньше, чем , больше или равна разности
(52) |
Неравенство (52) называется неравенством Чебышева.
Доказательство:
Рассмотрим сначала неравенство . Так как оно равносильно неравенству
то
Случайная величина
неотрицательна и, значит, удовлетворяет условиям первой леммы Чебышева. Следовательно,
так как
Поэтому
(53) |
Так как событие, выражаемое неравенством , противоположно событию, выражаемому неравенством , то
Принимая во внимание соотношение (53), окончательно получим