§ 5. ЗАКОНЫ БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ.

5.1. Леммы Чебышева.

Лемма 1. Пусть — случайная величина, принимающая только неотрицательные значения; тогда

Доказательство:

Для простоты докажем это утверждение для дискретной случайной величины , принимающей значения x₁, x₂, ..., x_n, при условии . По аксиоме сложения вероятностей имеем

где суммирование распространено на все значения x_i, большие или равные единице. Но для , очевидно,

Поэтому

(50)

где x_i<1. Эта сумма неотрицательна, так как все по условию, а вероятности . Поэтому

(51)

Последняя сумма распространена на все значения x_i, принимаемые учайной ветчиной . Но эта сумма по определению равна математическому ожиданию:

Сопоставляя соотношения (50) и (51), имеем

Тем самым лемма доказана.