§ 4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.
4.2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.
Во многих практически важных случаях существенным является вопрос о том, насколько велики отклонения
случайной величины от ее математического ожидания.
Предварительно рассмотрим пример. Пусть две случайные величины и
заданы
следующими рядами распределения
Значения ![]() |
-0,2 | -0,1 | 0,1 | 0,2 |
Вероятности p(x) | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Значения ![]() |
-50 | -40 | 40 | 50 |
Вероятности p(x) | 0,25 | 0,25 | 0,25 | 0,25 |
Легко убедится в том, что математические ожидания этих величин одинаковы и равны нулю:
Однако разброс значений этих величин относительно их математического ожидания неодинаков. В
первом случае значения, принимаемые случайной величиной , близки к ее математическому ожиданию, а во втором
случае далеки от него. Для оценки разброса (рассеяния) значений случайной величины около ее математического ожидания вводится новая числовая характеристика - дисперсия.
Дисперсией случайной величины
называется математическое ожидание квадрата
отклонения случайной величины от ее математичекого ожидания *:
![]() |
(43) |
Пусть - дискретная случайная величина, принимающая значения
x1, x2, ..., xn соответственно с вероятностями p1, p2, ..., pn.
Очевидно, случайная величина
принимает значения
![]() |
(44) |
Если же - случайная величина с плотностью распределения
, то по определению
![]() |
(45) |
Принимая во внимание определение дисперсии и свойства математического ожидания, имеем
Так как и
- постоянные, то используя свойства математического ожидания, получим
Следовательно,
Откуда окончательно находим
![]() |
(46) |
Рассмотрим теперь свойства дисперсии.
1°. Дисперсия постоянной равна нулю. (Доказательство)
2°. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:
![]() |
(47) |
3°. Если и
- независимые случайные величины
, то дисперсия суммы этих величин равна сумме их дисперсий:
![]() |
(48) |
Средним квадратическим отклонением случайной величины
называется корень квадратный из ее дисперсии:
![]() |
(49) |
Среднее квадратическое отклонение имеет ту же размерность, что и случайная величина
.
Пример 1.
Cлучайная величина - число очков, выпадающих при однократном бросании игральной кости (см. § 3, п.1, пример 1).
Определить: математическое ожидание, дисперсию и средне квадратическое отклонение
(Решение)
Пример 2.
Cлучайная величина - число наступления события A при одном испытании, причем P(A)=p
(см. § 3, п.1, пример 2). Найти математическое ожидание и дисперсию.
(Решение)
Пример 3.
Cлучайная величина m - число наступления события A в n независимых опытах, причем вероятность наступления события A в каждом опыте равна p. Найти M(m), D(m) и
(Решение)
Пример 4.
Пусть - случайная величина распределенная по закону Пуассона
Пример 5.
Пусть - случайная величина, имеющая равномерное распределение с плотностью
Пусть - нормально распределенная случайная величина, с параметрами a и
(см. § 3, п.5). Найдем
и
Так как
,то по формуле (40) находим
Проведем в интеграле замену переменной, полагая
тогда
Следовательно,
Но
[См. формулу (29)].
Далее, так как функция нечетная, то по свойству нечетных функций
Следовательно,
Дисперсию находим по формуле (45)
(вычисление интеграла не приводим).
Итак,
Таким образом, параметры a и для нормально распределенной случайной
величины имеют простой вероятностный смысл: a есть математическое ожидание,
- среднее квадратическое
отклонение.
* Казалось бы естественным рассматривать не квадрат отклонения, а просто отклонение случайной
величины от ее математического ожидания. Однако математическое ожидание этого отклонения равно нулю, так как