§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
3.2. Функция распределения вероятностей случайной величины и ее свойства.
Рассмотрим функцию F(х), определенную на всей числовой оси следующим образом: для каждого х
значение F(х) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение, меньшее х, т. е.
![]() |
(18) |
Эта функция называется функцией распределения вероятностей, или кратко, функцией распределения.
Пример 1.
Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 1, п. 1.
(Решение)
Пример 2.
Найти функцию распределения случайной величины , приведенной в примере 2, п. 1.
(Решение)
Зная функцию распределения F(x), легко найти вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам
.
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайняя величина примет значение, меньшее . Это событие распадается на сумму двух несовместных событий:
1) случайная величина
принимает значения, меньшие
, т.е.
; 2)
случайная величина
принимает значения, удовлетворяющие неравенствам
. Используя аксиому сложения, получаем
Отсюда
Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу (18)], имеем ,
; cледовательно,
![]() |
(19) |
Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной величины в интервал равна приращению функции распределения на этом интервале.
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть <
. Так как вероятность любого события неотрицательна, то
.
Поэтому из формулы (19) следует, что
, т.е.
.
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенствам .
Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероятность [см. формулу (18)]. Ясно, что * и
.
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет одно из возможных значений xi,
равна скачку функции распределения в точке xi.
Действительно, пусть xi - значение, принимаемое дискретной случайной величиной, и . Полагая в
формуле (19)
,
, получим
![]() |
(20) |
В пределе при вместо вероятности попадания случайной величины на интервал
получим вероятность того, что величина
примет данное значение xi:
C другой стороны, получаем , т.е. предел функции F(x) справа, так как
.
Следовательно, в пределе формула (20) примет вид
![]() |
(21) |
т.е. значение p(xi) равно скачку функции ** xi. Это свойство наглядно иллюстрируется
на рис. 4 и рис. 5.
** Можно показать, что F(xi)=F(xi-0), т.е. что функция F(x) непрерывна слева в точке xi.