Рассмотрим систему координатных осей, определяемую траекторией точки (рис.36).

Рис.36.

.

Единичный вектор касательной к траектории (S – длина дуги М₀М):

, где .

Дифференцируя по S: ,

где - единичный вектор главной нормали; и направлен в сторону вогнутости;

кривизна. (k = 0 - прямая); - радиус кривизны.

Единичный вектор бинормали :

.

образуют правую тройку ортогональных единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных) осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка.

соприкасающаяся

Очевидно, проекция на ось : (может иметь разные знаки – зависит от направления S).

Для ускорения:

;

Но: ;

Очевидно, проекции ускорения на естественные оси:

на касательную: ;

на главную нормаль:

на бинормаль: 0

Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 37).

Рис.37.

Задача.

Контрольные вопросы:

1. Какие основные отличия естественной системы координат от декартовой?

2. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах.

3. Какова последовательность определения радиуса кривизны траектории точки?