Рассмотрим систему координатных осей, определяемую траекторией точки (рис.36).
Рис.36.
.
Единичный вектор касательной к траектории (S – длина дуги М0М):
, где
.
Дифференцируя по S:
,
где - единичный вектор главной
нормали;
и направлен в сторону вогнутости;
кривизна. (k = 0 - прямая);
- радиус кривизны.
Единичный вектор бинормали :
.
образуют правую тройку ортогональных
единичных векторов. Они определяют направление естественных (натуральных)
осей в том месте траектории, где находится движущаяся точка.
соприкасающаяся
Очевидно, проекция на ось :
(может иметь разные знаки – зависит
от направления S).
Для ускорения:
;
Но: ;
Очевидно, проекции ускорения на естественные оси:
на касательную: ;
на главную нормаль:
на бинормаль: 0
Таким образом, ускорение лежит в соприкасающейся плоскости (рис. 37).
Рис.37.
Задача.
Контрольные вопросы:
1. Какие основные отличия естественной системы координат от декартовой?
2. Назовите проекции скорости точки в естественных координатах.
3. Какова последовательность определения радиуса кривизны траектории точки?