СМЕШАННОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ТРЕХ ВЕКТОРОВ И ЕГО СВОЙСТВА
Смешанным произведением трёх
векторов называют число, равное
. Обозначается
. Здесь первые два вектора умножаются векторно и затем полученный
вектор
умножается скалярно на
третий вектор
. Очевидно, такое произведение есть некоторое число.
Рассмотрим свойства смешанного произведения.
Таким образом, и
.
Доказательство. Отложим векторы от общего начала и
построим на них параллелепипед. Обозначим
и заметим, что
. По определению скалярного произведения
. Предполагая, что
и обозначив через h высоту параллелепипеда,
находим
.
Таким образом, при
Если же , то
и
. Следовательно,
.
Объединяя оба эти случая, получаем или
.
Из доказательства этого свойства в
частности следует, что если тройка векторов правая, то смешанное
произведение
, а если
– левая, то
.
.
Доказательство этого свойства следует из
свойства 1. Действительно, легко показать, что и
. Причём знаки "+" и "–" берутся одновременно, т.к. углы
между векторами
и
и
и
одновременно острые
или тупые.
Действительно, если рассмотрим смешанное
произведение , то, например,
или
.
Доказательство.
Если , то
или
или
. Поэтому
– компланарны.
Если , то
,
,
- компланарны.
Т.о., необходимым и достаточным условием компланарности 3-х векторов является равенство нулю их смешанного произведения.
Кроме того, отсюда следует, что три вектора образуют базис в пространстве, если
.
Если векторы заданы в координатной форме , то можно показать, что их смешанное произведение находится
по формуле:
.
Т. о., смешанное произведение равно определителю
третьего порядка, у которого в первой строке стоят координаты первого вектора, во второй строке – координаты второго вектора и в третьей строке – третьего вектора.
Примеры.
, т.е. векторы
– базис.
Т. к. , то тройка
векторов левая.
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
Уравнение F(x, y, z) = 0 определяет в пространстве Oxyz некоторую поверхность, т.е. геометрическое место точек, координаты которых x, y, z удовлетворяют этому уравнению. Это уравнение называется уравнением поверхности, а x, y, z – текущими координатами.
Однако, часто поверхность задаётся не уравнением, а как множество точек пространства, обладающих тем или иным свойством. В этом случае требуется найти уравнение поверхности, исходя из её геометрических свойств.
ПЛОСКОСТЬ.
НОРМАЛЬНЫЙ ВЕКТОР ПЛОСКОСТИ.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ, ПРОХОДЯЩЕЙ ЧЕРЕЗ ДАННУЮ ТОЧКУ
Рассмотрим в пространстве произвольную плоскостьσ.
Её положение определяется заданием вектора , перпендикулярного этой плоскости, и некоторой
фиксированной точки M0(x0, y0, z0), лежащей в плоскости σ.
Вектор перпендикулярный плоскости σ, называется нормальным вектором этой плоскости.
Пусть вектор
имеет
координаты
.
Выведем уравнение плоскости σ, проходящей через данную точку M0
и имеющей нормальный вектор . Для этого возьмём на плоскости σ произвольную
точку M(x, y, z) и рассмотрим вектор
.
Для любой точки MÎ σ вектор .Поэтому их
скалярное произведение равно нулю
. Это равенство –
условие того, что точка MÎ σ. Оно справедливо для всех точек этой
плоскости и нарушается, как только точка M окажется
вне плоскости σ.
Если обозначить через радиус-вектор
точки M,
– радиус-вектор точкиM0, то
и уравнение
можно записать в виде
.
Это уравнение называется векторным уравнением плоскости. Запишем его в координатной форме.
Так как , то
.
Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через данную точку. Таким образом, для того чтобы составить уравнение плоскости, нужно знать координаты нормального вектора и координаты некоторой точки, лежащей на плоскости.
Заметим, что уравнение плоскости является уравнением 1-ой степени относительно текущих координат x, y и z.
Примеры.
Используя выведенное уравнение, получим 2(x-1)+0(y+2)+4(z-3)=0 или x+2z-7=0.
Чтобы составить требуемое уравнение, нужно найти вектор перпендикулярный
плоскости. Заметим, что таким вектором будет вектор . Найдем это
вектор.
. Тогда
.
Взяв в качестве точки, через которую проходит плоскость точку A, получим уравнение –2(x-1)-10(y-2)+8(z-3)=0 или x+5y-4z+1=0.
ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ
Можно показать, что любое уравнение первой степени относительно декартовых координат x, y, z представляет собой уравнение некоторой плоскости. Это уравнение записывается в виде:
Ax+By+Cz+D=0
и называется общим уравнением плоскости, причём координаты A, B, C здесь являются координатами нормального вектора плоскости.
Рассмотрим частные случаи общего уравнения. Выясним, как располагается плоскость относительно системы координат, если один или несколько коэффициентов уравнения обращаются в ноль.
В этом случае уравнение плоскости принимает вид Ax+Cy+Bz=0. Т.к. числа x=0, y=0, z=0 удовлетворяют уравнению плоскости, то она проходит через начало координат.
Аналогично, если B= 0, то плоскость параллельна оси Oy и C= 0 – плоскость параллельна оси Oz.
Т.о., если в уравнении плоскости один из коэффициентов при текущей координате равен нулю, то плоскость параллельна соответствующей координатной оси.
Аналогично, при B=D=0 плоскость Ax+Cz=0 проходит через ось Oy. При C=D=0 плоскость проходит через ось Oz.
Примеры.
Так как ось Oy параллельна , то уравнение плоскости Ax+Cy+D=0.
Учитывая, что M1Î α, M2Î α, подставим координаты этих точек в уравнение и
получим систему из двух линейных уравнений с тремя неизвестными
Положив D=1, найдем A= 1 и C= 2. Следовательно, уравнение плоскости имеет видx+2z+1=0.
Так как yOz||α, то уравнениеплоскости будет Ax+D=0. С другой стороны MÎ α, поэтому 2A+D=0, D=-2A. Поэтому плоскость имеет уравнениеx-2=0.
УРАВНЕНИЕ ПЛОСКОСТИ В ОТРЕЗКАХ.
ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Рассмотрим плоскость, пересекающую все три координатные оси и не проходящую через начало координат. Пусть плоскость задана своим общим уравнением Ax+By+Cz+D=0, где ни один из коэффициентов не равен нулю.
Преобразуем это уравнение.
Ax+By+Cz=-D. Поделим полученное равенство на –D и запишем его в виде:
.
Тогда, обозначив , приходим к уравнению
. Это уравнение и называется уравнением плоскости в отрезках.
Выясним геометрический смысл чисел a, b и c. Если положим y=z=0, то изуравнения x=a. Т.е. данному уравнению удовлетворяет точка с координатами (0; 0; 0). Следовательно, a – это длина отрезка, отсекаемого плоскостью на оси Ox. Аналогично, можно показать, что b и c – длины отрезков, отсекаемых рассматриваемой плоскостью на осях Oy и Oz.
Уравнением плоскости в отрезках удобно пользоваться для построения плоскостей.
Примеры.