СИСТЕМА ОДНОРОДНЫХ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Системой однородных линейных уравнений называется система вида

Ясно, что в этой случае , т.к. все элементы одного из столбцов в этих определителях равны нулю.

Так как неизвестные находятся по формулам , то в случае, когда Δ ≠ 0, система имеет единственное нулевое решение x = y = z = 0. Однако, во многих задачах интересен вопрос о том, имеет ли однородная система решения отличные от нулевого.

Теорема. Для того, чтобы система линейных однородных уравнений имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы Δ ≠ 0.

Итак, если определитель Δ ≠ 0, то система имеет единственное решение. Если же Δ ≠ 0, то система линейных однородных уравнений имеет бесконечное множество решений.

Примеры.

1. 

   , а значит x=y=z=0.

2. 

СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ МАТРИЦЫ

Пусть задана квадратная матрица , X – некоторая матрица–столбец, высота которой совпадает с порядком матрицы A. .

Во многих задачах приходится рассматривать уравнение относительно X

,

где λ – некоторое число. Понятно, что при любом λ это уравнение имеет нулевое решение .

Число λ, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением матрицы A, а X при таком λ называется собственным вектором матрицы A.

Найдём собственный вектор матрицы A. Поскольку E∙X = X, то матричное уравнение можно переписать в виде или . В развёрнутом виде это уравнение можно переписать в виде системы линейных уравнений. Действительно .

И, следовательно,

Итак, получили систему однородных линейных уравнений для определения координат x₁, x₂, x₃ вектора X. Чтобы система имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю, т.е.

Это уравнение 3-ей степени относительно λ. Оно называется характеристическим уравнением матрицы A и служит для определения собственных значений λ.

Каждому собственному значению λ соответствует собственный вектор X, координаты которого определяются из системы при соответствующем значении λ.

Примеры.

1. Найти собственные векторы и соответствующие им собственные значения матрицы .

   Составим характеристическое уравнение и найдём собственные значения

   

   1. При λ₁ = –1 получаем систему уравнений

      

      Если x₁ = t, то, где tÎR.

   2. Если λ₂ = 5

      

2. 

   

ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. ПОНЯТИЕ ВЕКТРОРА

При изучении различных разделов физики встречаются величины, которые полностью определяются заданием их численных значений, например, длина, площадь, масса, температура и т.д. Такие величины называются скалярными. Однако, кроме них встречаются и величины, для определения которых, кроме численного значения, необходимо знать также их направление в пространстве, например, сила, действующая на тело, скорость и ускорение тела при его движении в пространстве, напряжённость магнитного поля в данной точке пространства и т.д. Такие величины называются векторными.

Введём строгое определение.

Направленным отрезком назовём отрезок, относительно концов которого известно, какой из них первый, а какой второй.

Вектором называется направленный отрезок, имеющий определённую длину, т.е. это отрезок определённой длины, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая – за конец. Если A – начало вектора, B – его конец, то вектор обозначается символом, кроме того, вектор часто обозначается одной буквой . На рисунке вектор обозначается отрезком, а его направление стрелкой.

Модулем или длиной вектора называют длину определяющего его направленного отрезка. Обозначается || или ||.

К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у которого начало и конец совпадают. Он обозначается . Нулевой вектор не имеет определенного направления и модуль его равен нулю ||=0.

Векторы и называются коллинеарными, если они расположены на одной прямой или на параллельных прямых. При этом если векторы и одинаково направлены, будем писать , противоположно .

Векторы, расположенные на прямых, параллельных одной и той же плоскости, называются компланарными.

Два вектора и называются равными, если они коллинеарны, одинаково направлены и равны по длине. В этом случае пишут .

Из определения равенства векторов следует, что вектор можно переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку пространства.

Например.

1. Если дан вектор , то, выбрав любую точку , можем построить вектор , равный данному, и притом только один, или, как говорят, перенести вектор в точку .
   
2. Если рассмотреть квадрат ABCD, то на основанииопределения равенства векторов, мы можем написать и , но , , хотя все они имеют одинаковую длину.

ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ

1. Умножение вектора на число.

   Произведением вектора на число λ называется новый вектор такой, что:

   1. ;
   2. вектор коллинеарен вектору ;
   3. векторы и направлены одинаково, если λ>0 и противоположно, если λ< 0. (Если λ=0, то из условия 1 следует, что ).

   Произведение вектора на число λ обозначается .

   

   Например, есть вектор, направленный в ту же сторону, что и вектор , и имеющий длину, вдвое меньшую, чем вектор .

   Введённая операция обладает следующими свойствами:

   1. Для любых чисел a и b и вектора выполняется равенство .

      Действительно, векторы, стоящие в обеих частях равенства имеют одинаковую длину . Кроме того, ясно, что они одинаково направлены, т.к. их направление совпадает с направлением вектором , если a и b одного знака, и противоположно направлению , если a и b разных знаков.

   2. Пусть дан вектор . Для любого коллинеарного ему вектора найдётся и притом только одно число l, удовлетворяющее равенству .

      Доказательство свойства 2:

      1. Пусть . Рассмотрим вектор . Очевидно, . Кроме того , поэтому . Из этих двух свойств следует, что , а значит .
      2. Аналогично, если . Тогда .

         Единственность числа λ следует из того, что при умножении вектора на два разных числа, получаем два разных вектора.

2. Сложение векторов.

   Пусть и – два произвольных вектора. Возьмём произвольную точку O и построим вектор . После этого из точки A отложим вектор . Вектор , соединяющий начало первого вектора c концом второго , называется суммой этих векторов и обозначается .

   

   Сформулированное определение сложения векторов называют правилом параллелограмма, так как ту же самую сумму векторов можно получить следующим образом. Отложим от точки O векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм ОАВС. Так как векторы , то вектор , являющийся диагональю параллелограмма, проведённой из вершины O, будет очевидно суммой векторов .

   

   Легко проверить следующие свойства сложения векторов.

   1. Ясно, что прибавление нулевого вектора к некоторому вектору ā не меняет вектора , т.е. .
   2. Сложение векторов коммутативно, т.е. .

      Это свойство сразу следует из правила параллелограмма.

   3. Сложение векторов ассоциативно, т.е. для любых трёх векторов . Поэтому сумму трёх векторов часто записывают просто .

      

      Сумму трёх векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки O откладывается вектор, равный первому вектору. К его концу присоединяется начало второго, к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, будет суммой данных векторов. Аналогично строится сумма любого конечного числа векторов.

   4. Для любого числа λ и любых векторов и .

      

      Заметим, что при умножении векторов на число λ меняются только размеры векторов, т.е. масштаб чертежа, фигуры остаются подобными. Поэтому, так как векторы образуют стороны и диагональ параллелограмма, то, умножив все члены на λ, т.е. изменив лишь размеры векторов одинаковым образом, мы получим снова параллелограмм, а значит, сохранится равенство .

   5. Для любых чисел a и b и любого вектора выполняется равенство .
3. Разность векторов.

   Вектор, коллинеарный данному вектору , равный ему по длине и противоположно направленный, называется противоположным вектором для вектора и обозначается . Противоположный вектор можно рассматривать как результат умножения вектора на число λ = –1: .

   Разностью двух векторов и называется вектор , равный сумме векторов и , т.е. .

   Очевидно, что , для любого вектора .

   Легко показать, что .

   

   Действительно,

   Таким образом, если .

   Из определения суммы двух векторов вытекает правило построения вектора разности. Откладываем векторы и из общей точки O. Чтобы найти вектор-разность, нужно к добавить вектор или . Тогда . Вектор , соединяющий концы векторов и и направленный от "вычитаемого" к "уменьшаемому" (т.е. от второго вектора к первому), и будет разностью . Действительно, по правилу сложения векторов или .

   

   Таким образом, если на векторах и , отложенных из общей точки O, построить параллелограмм OACB, то вектор , совпадающий с одной диагональю параллелограмма, равен сумме , а вектор , совпадающий с другой диагональю, равен разности .