Ранее мы познакомились с примерами нахождения пределов отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций, то есть раскрытия неопределенностей вида 0/0 и ∞/∞. Сейчас рассмотрим новое правило раскрытия этих неопределенностей.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем

(1)

Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула (1) справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

Например, найти . Этот предел существует . Но отношение производных (1+cosx)/1=1+cos x при x→∞ не стремится ни к какому пределу.

Заметим, что если отношение производных опять представляет собой неопределенность вида 0/0 или ∞/∞, то можно снова применить сформулированную теорему, то есть перейти к отношению вторых производных и так далее.

Вспомним, что к этим двум случаям сводятся случаи других неопределенностей: ∞·∞; 0·∞.

Для раскрытия неопределенностей 1^∞, 1⁰, ∞⁰ нужно прологарифмировать данную функцию и найти предел ее логарифма.

Примеры.

1. .
2. .
3. .
4. 
5. 

   Обозначим .

   Прологарифмируем это равенство . Найдем .

   Так как lny функция непрерывная, то . Следовательно, или .

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x₀ Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x₀ приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значенийf(x) в окрестности точки x₀ можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = P_n(x). Будем искать его в виде

(1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена P_n(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x₀ и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что

,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x₀. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x₀ Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x₀ и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x Î (x₀, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x₀ = 0, то она запишется в виде

где x Î ( x₀, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО ФОРМУЛЕ МАКЛОРЕНА НЕКОТОРЫХ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

1. Рассмотрим функцию f(x)=e^x. Представим ее по формуле МакЛорена в виде суммы многочлена и некоторого остатка. Для этого найдем производные до (n+1) порядка:

   

   Таким образом, получаем

   

   Используя эту формулу и придавая x различные значения, мы сможем вычислить значение e^x.

   Например, при x=1, ограничиваясь n=8, получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа e:

   причем остаток

   Отметим, что для любого x Î R остаточный член

   Действительно, так как ξ Î (0; x), то величина e^ξ ограничена при фиксированном x. При x> 0 e^ξ < e^x. Докажем, что при фиксированном x

   Имеем

   Если x зафиксировано, то существует натуральное число N такое, что |x|<N.

   Обозначим Заметив, что 0<q<1, при n>N можем написать

   

   Но , не зависящая от n, а так как q<1. Поэтому Следовательно,

   Таким образом, при любом x, взяв достаточное число слагаемых, мы можем вычислить e^x с любой степенью точности.

2. Выпишем разложение по формуле МакЛорена для функции f(x)=sin x.

   Найдем последовательные производные от функции f(x)=sin x.

   

   Подставляя полученные значения в формулу МакЛорена, получим разложение:

   

   Несложно заметить, что преобразовав n-й член ряда, получим

   .

   Так как , то аналогично разложению e^x можно показать, что для всех x.

   Пример. Применим полученную формулу для приближенного вычисления sin 20°. При n=3 будем иметь:

   

   Оценим сделанную погрешность, которая равна остаточному члену:

   

   Таким образом, sin 20°= 0,342 с точностью до 0,001.

3. f(x) = cos x. Аналогично предыдущему разложению можно вывести следующую формулу:

   

   Здесь также для всех x. Докажите формулу самостоятельно.

4. f(x)=ln (1+x). Заметим, что область определения этой функции D(y)=(–1; +∞).

   Найдем формулу МакЛорена для данной функции.

   

   Подставим все найденные производные в ряд МакЛорена.

   

   Можно доказать, что если x Î (–1;1],то , т.е. выведенная формула справедлива при x Î ( –1;1].

5. f(x) = (1+x)^m, где m Î R, m≠0.

   При m≠Z данная функция определена при x> –1. Найдем формулу МакЛорена для этой функции:

   

   И следовательно,

   Можно показать, что при |x|<1

ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ И ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ

НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ВОЗРАСТАНИЯ И УБЫВАНИЯ ФУНКЦИИ

Вспомним сначала определения возрастающей и убывающей функций.

Функция y=f(x), определенная на некотором отрезке [a, b] (интервале (a, b)), называется возрастающей на этом отрезке, если большему значению аргумента x из [a, b] соответствует большее значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) < f(x₂).

Функцияy=f(x) называется убывающей на некотором отрезке [a, b], если меньшему значению аргумента x из [a, b]соответствует большее значение функции, то есть если x₁ < x₂, то f(x₁) > f(x₂).

Функция, только возрастающая или только убывающая на отрезке, называется монотонной на этом отрезке.

Функция y=f(x) называется постоянной на некотором отрезке [a, b], если при изменении аргумента x она принимает одни и те же значения.

Рассмотрим график функции изображенной на рисунке и определим промежутки возрастания и убывания функции.

(-∞, a), (c, +∞) – убывает;

(a, b) – постоянная;

(b, c) – возрастает.

Применим понятие производной для исследования возрастания и убывания функции.

Теорема 1. (Необходимое и достаточное условия возрастания функции)

1. Если дифференцируемая функция y=f(x) возрастает на [a, b], то ее производная неотрицательна на этом отрезке, f '(x)≥ 0.
2. Обратно. Если функция y=f(x) непрерывна на [a, b], дифференцируема на (a, b) и ее производная положительна на этом отрезке,f ' (x)≥ 0 для a<x<b, то f(x) возрастает на[a, b].

   Доказательство.

   1. Докажем первую часть теоремы. Итак, пусть функция y=f(x) возрастает на [a, b]. Зафиксируем на этом отрезке произвольную точку x, придадим ей приращение Δx. Тогда если Δx>0, то x<x+Δx. Поэтому по определению возрастающей функции f(x)<f(x+Δx), то есть f(x+Δx) - f(x)>0. Но тогда и Аналогично, если Δx<0, то x>x+Δx и значит f(x+Δx)-f(x)<0, а

      Переходя в этом равенстве к пределу при Δx→0, получим , то есть f '(x)≥0.

   2. Докажем вторую часть теоремы. Пусть f '(x)>0при всех x Î (a,b). Рассмотрим два любых значения x₁ и x₂ таких, что x₁ < x₂. Нужно доказать, что f(x₁)< f(x₂). По теореме Лагранжа существует такое число c Î (x₁, x₂), что . По условию f '(x)>0, x₁ – x₂>0Þ , а это и значит, что f(x) – возрастающая функция.

   Аналогичная теорема имеет место и для убывающих функций.

   Теорема 2. Если f(x) убывает на[a,b], то на этом отрезке. Если на (a; b), то f(x) убывает на [a, b],в предположении, чтоf(x) непрерывна на [a, b].

   Доказанная теорема выражает очевидный геометрический факт. Если на [a, b] функция возрастает, то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке этого отрезке образует острый угол с осью Ox или горизонтальна, т.е. tga≥0, а значит f '(x)≥0.

   

   Аналогично иллюстрируется и вторая часть теоремы.

   Таким образом, возрастание и убывание функции характеризуется знаком ее производной. Чтобы найти на каком промежутке функция возрастает или убывает, нужно определить, где производная этой функции только положительна или только отрицательна, то есть решить неравенства f '(x)>0 – для возрастания или f '(x)<0 – для убывания.

   Примеры. Определить интервалы монотонности функции.

   1. . Область определения заданной функции D(y) = (-∞; 0)È(0; +∞).

      . Следовательно, f(x) – убывает на (-∞; 0) и (0; +∞).

   2.  

      

      Найдем промежутки, на которых производная заданной функции положительна или отрицательна методом интервалов.

      Итак, f(x) – убывает на (–∞; –1] и [1; +∞), возрастает на отрезке [–1; 1].

   

   3.  

      .

      Используя метод интервалов, получим f(x) убывает на (0; 1) и (1; e], возрастает на [e; +∞).