Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида F(x,y,у')=0 или у'=f(x,y). Функция y(x), при подстановке которой уравнение обращается в тождество, называется решением дифференциального уравнения.

Рассмотрим несколько численных методов решения дифференциальных уравнений первого порядка. Описание численных методов приводится для уравнения в виде у'=f(x,y).

1. Метод Эйлера.

   Рассмотрим два варианта вывода расчетных формул

   - вариант 1 (аналитический) у=f (x,y)

   

   y1=y0+h*f(x0,y0) x1=x0+h	Расчетные формулы для 1-го шага
   yi+1=yi+h*f(xi,yi) xi+1=xi*h	Расчетные формулы для i-го шага

   - вариант 2 (графический)

   	y1=y0+f(x0,y0)*h; x1=x0+h yi+1=yi+h*f(xi,yi)
   k1=h*f(xi,yi) yi+1=yi+ki xi+1=xi+h	Аналогично варианту 1

   Следующие расчетные формулы приводятся без вывода.

2. Модифицированный метод Эйлера (вариант 1).

   у_i+1=у_i+hf(x_i+h/2, y_i+hf(x_i,y_i)/2),

   x_i+1=x_i+h.

3. Модифицированный метод Эйлера (вариант 2).

   у_i+1=у_i+(h/2)[f(x_i,y_i)+f(x_i,+h,y_i+hf(x_i,y_i))],

   x_i+1=x_i+h.

4. Метод Рунге-Кутта третьего порядка.

   у_i+1=у_i+(k₁+4k₂+k₃)/6,

   k₁=hf(x_i, y_i),

   k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

   k₃=hf(x_i+h, y_i+2k₂-k₁),

   x_i+1=x_i+h.

5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.

   у_i+1=у_i+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6,

   k₁=hf(x_i,y_i),

   k₂=hf(x_i+h/2, y_i+k₁/2),

   k₃=hf(xi+h/2, y_i+k₂/2),

   k₄=hf(x_i+h, y_i+k₃),

   x_i+1=x_i+h,

   где у_i+1,у_i - значения искомой функции в точках x_i+1, x_i соответственно, индекс i показывает номер шага интегрирования, h - шаг интегрирования. Начальные условия при численном интегрировании учитываются на нулевом шаге: i=0, x=x₀, y=y₀.

Пример. Численно и аналитически решить дифференциальное уравнение dy/dx=x² при y|_x=0 =1. Определить значение функции при x_k=1, h=1.

Решение задачи приведено в таблице.

Таблица

Этап программирования	Выполнение
1. Постановка задачи	Решить дифференциальное уравнение dy/dx=x2 при y|x=0 =1. Определить знач. функции при xk=1, h=1
2. Математическое описание	1. Аналитическое решение. dy/dx=x2 y=1+x3/3, yk=y(1)=1+1/3=4/3. 2. Метод Эйлера. 3. Модифицированный метод Эйлера 1. 4. Модифицированный метод Эйлера 2. 5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядка.
3. Разработка структограммы	Выполнить самостоятельно
4. Написание программы	Выполнить самостоятельно
5. Отладка и получение результатов	Выполнить самостоятельно

Контрольное задание. Лабораторная работа 5.

Численное решение дифференциальных уравнений

Задание.

1. Решить дифференциальное уравнение аналитически и численно указанными методами для двух значений шага интегрирования h=0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы.
2. Построить графики функций y(x) (5 графиков).

Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице

Оформление результатов расчета

Таблица

Варианты уравнений и методов их решения

Таблица

Примечание. Значение параметров a, b и начальные условия y|_x=x0=y₀ выбрать cамостоятельно.

Содержание отчета:

1. Название, цель работы и задание.
2. Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
3. Результаты расчета, пять графиков зависимости y(x) и выводы по работе.

Далее...