/ Теория / Информатика / Лекция 10. Численное дифференцирование
Производная функции есть предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении к нулю приращения независимой переменной
.
При численном нахождении производной заменим отношение
бесконечно малых приращений функций и аргумента 
отношением
конечных разностей. Очевидно, что чем меньше будет приращение аргумента, тем
точнее численное значение производной.
Первая производная. Двухточечные методы.
Для двухточечных методов при вычислении производных используется значение функции в двух точках. Приращение аргумента задается тремя способами, откладывая Δx = h вправо, влево и в обе стороны от исследуемой точки. Соответственно получается три двухточечных метода численного дифференцирования:
|
метод 1 |
|
|
метод 2 |
|
|
метод 3 |
|
Суть указанных методов проиллюстрирована на рисунке. Численное значение тангенса угла α образованного касательной к графику y(x) и осью абсцисс, показывает точное значение производной(геометрический смысл производной). Тангенсы углов α1, α2, α3 соответствуют приближенным значениям производных, определенных методами 1,2,3 соответственно (подумайте почему?).
Пример. Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001.
Этапы решения задачи приведены в таблице.
Таблица
|
Этап программирования |
Выполнение |
|
1. Постановка задачи |
Вычислить точное и приближенное (тремя методами) значения производной функции y=x*x в точке x=1 с шагом h=1 и h=0.001. |
|
2. Математическое описание |
Аналитическое решение: y'=2x , y'(1)=2, Численное решение для шага: h=1
для шага h=0.001
|
|
3. Разработка структограммы |
Выполнить самостоятельно |
|
4. Написание программы |
Выполнить самостоятельно |
|
5. Отладка и получени результатов |
Выполнить самостоятельно |
, 
Вычисление первых производных по трёхточечным схемам.
Расчетные формулы для указанной трехточечной схемы имеют вид:
Вычисление производных второго порядка.
Вторая производная вычисляется как первая производная от первой производной. Для следующей пятиточечной схемы
расчетная формула имеет вид:
Пример. Написать программу для нахождения второй производной функции y = 2 * x4
в точке x=1 с шагом h=0.01, сравнить с точным значением.
Таблица
|
Технологическая операция |
Выполнение |
||||
|
1. Постановка задачи |
Написать программу для нахождения второй производной функции y = 2 * x4 в точке x=1 с шагом h=0.01, сравнить с точным значением. |
||||
|
2. Математическое описание |
Аналитическое значение
Приближенное значение
|
||||
|
3. Разработка структограммы |
|
||||
|
4. Написание программы |
Program P7; Var x,ddy,h:real; Function y(x:real):real; begin y:=2*sqr(sqr(x)); end; begin x:=1;h:=0.01; ddy:=(y(x+h)-2*y(x)+y(x-h))/h/h; writeln(ddy); end. |
||||
|
5. Отладка и получение результатов |
Выполнить сомостоятельно. |
.
Вычисление производных третьего порядка.
Производные третьего порядка вычисляются как первая производная от производной второго порядка. Для рассмотренной пятиточечной схемы расчетная формула имеет вид
Контрольное задание. Лабораторная работа 2.
Численное дифференцирование
- Вычислить значение производной в произвольной точке x=x0 аналитически и численно тремя методами для пяти значений приращения аргумента Δx=1; 0.2; 0.1; 0.01; 0.001. Результаты расчета вывести на экран и распечатать в виде таблицы
Таблица вывода результатов расчета
|
Δx |
y(x) | y'(x) |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
0.2 |
|||||
|
0.1 |
|||||
|
0.01 |
|||||
|
0.001 |
- Построить графики функций y'(x0) = F(Δx). Варианты функций приведены в таблице.
Таблица
Варианты функций
|
Вар. |
Вид функции |
Вар. |
Вид функции |
|
1 |
x(t)=Ae-at sin(ωt+b) |
14 |
y=ctgm (ax) |
|
2 |
x(t)=Aeat cos(ωt+b) |
15 |
y(x)=(eax-e-ax)n |
|
3 |
|
16 |
x(t)=tat |
|
4 |
уυ(t)=cos2(at+b) |
17 |
y(x)=(ax)sin(bx) |
|
5 |
yυ(t)=sin2(at+b) |
18 |
|
|
6 |
|
19 |
|
|
7 |
q(t)=(a-btn)n |
20 |
|
|
8 |
y(x)=xncos(ax) |
21 |
R(φ)=arccosm(a+bφn) |
|
9 |
|
22 |
r(φ)=csin(aφ+b) |
|
10 |
|
23 |
y(x)=ln(tgn(ax+b)) |
|
11 |
|
24 |
vυ(t)=loga(tn+bm)k |
|
12 |
S(φ)=Вcоsn(aφ+b) |
25 |
S(φ)=Asinn(aφ+b) |
|
13 |
y=tgax( x/a ) |
26 |
X(t)=lg(atn+b) |
Примечание. Значение параметров a, b, c, d, m, n, A, B выбрать самостоятельно.
Содержание отчета:
- Название, цель работы и задание.
- Математическое описание, алгоритм (структограмма) и текст программы.
- Таблица результатов расчета, четыре графика зависимости y'(x0) = F(Δx) для трехчисленных методов и точного значения интеграла, выводы по работе.